B-coloring of Tight Graphs

A coloring c of a graph G = (V,E) is a b-coloring if in every color class there is a vertex colored i whose neighborhood intersects every other color classes. The b-chromatic number of G, denoted χb(G), is the greatest integer k such that G admits a b-coloring with k colors. A graph G is tight if it has exactly m(G) vertices of degree m(G)−1, where m(G) is the largest integer m such that G has at least m vertices of degree at least m−1. Determining the b-chromatic number of a tight graph G is NP-hard even for a connected bipartite graph [9]. In this paper we show that it is also NP-hard for a tight chordal graph. We also show that the b-chromatic number of a split graph can be computed is polynomial. Then we define the b-closure and the partial b-closure of a tight graph, and use these concepts to give a characterization of tight graphs whose b-chromatic number is equal to m(G). This characterization is used to develop polynomial time algorithms for deciding whether χb(G) = m(G), for tight graphs that are complement of bipartite graphs, P4-sparse and block graphs. We generalize the concept of pivoted tree introduced by Irving and Manlove [6] and show its relation with the b-chromatic number of tight graphs. Finally, we give an alternative formulation of the Erdös-Faber-Lovász conjecture in terms of b-colorings of tight graphs. Key-words: graph coloring, b-coloring, precoloring extension, tight graphs † Projet Mascotte, I3S (CNRS, UNSA) and INRIA, 2004 route des lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, France. [email protected]. Partly supported by ANR Blanc AGAPE. ‡ Dept. of Computer Science, Federal University of Ceará, Fortaleza, CE, Brazil. [email protected] § Projet Mascotte, I3S (CNRS, UNSA) and INRIA, 2004 route des lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, France. Leonardo.Sampaio [email protected]. Partly supported by ANR Blanc AGAPE. Partly supported by CAPES The Capes Foundation, Ministry of Education of Brazil. Cx. postal 250, Brası́lia DF 70.040-020, Brazil. ∗ Research supported by the INRIA Equipe Associée EWIN. b-coloration des graphes étriqués Résumé : Une k-coloration c d’un graphe G est une b-coloration si dans toute classe de couleur, il y a un sommet dont le voisinage intersecte toutes les autres classes de couleurs. The nombre b-chromatique d’un graphe est le plus grand entier k tel que G admette une b-coloration avec k couleurs. Un graphe est étriqué s’il a exactement m(G) sommet de degré m(G)−1, avec m(G) le plus grand entier m tel que G ait au moins m sommets de degré au moins m− 1. Calculer le nombre b-chromatique d’un graphe étriqué est NP-dur même pour les graphes connexes bipartis [9]. Dans ce rapport, nous montrons que c’est également NP-difficile pour les graphes étriqués cordaux. Nous montrons également que le nombre b-chromatique d’un graphe split peut être calculé en temps polynomial. Ensuite nous définissons la b-clôture et la b-clôture partielle d’un graphe étriqué. Nous utilisons ces deux concepts pour concevoir des algorithmes en temps polynomial pour décider si χb(G) = m(G) pour les graphes étriqués qui sont bipartis, P4-sparse ou des block-graphes. Nous généralisons également le concept d’arbre pivoté de Irving and Manlove [6] et montrons sa relation avec le nombre b-chromatique des graphes étriqués. Enfin, nous donnons une formulation alternative de la conjecture d’Erdös-Faber-Lovász en termes de b-coloration des graphes étriqués. Mots-clés : coloration de graphe, b-coloration, extension de précoloration, graphes étriqués b-coloring of tight graphs 3